题目内容
已知函数f(x)与函数y=
(a＞0)的图象关于直线y=x对称.(1)试用含a的代数式表示函数f(x)的解析式，并指出它的定义域；
(2)数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an＞a1.数列{bn}中，b1=2，Sn=b1+b2+…+bn.点Pn(an,
) (n=1,2, 3,…)在函数f(x)的图象上，求a的值；
(3)在(2)的条件下，过点Pn作倾斜角为
的直线ln，则ln在ｙ轴上的截距为
(bn+1)(n=1,2, 3,…)，求数列{an}的通项公式.
解：(1)由题可知：f(x)与函数y=(a＞0)互为反函数，∴f(x)=+1，(x≥0).
(2)∵点Pn(an,)(n=1,2,3,…)在函数f(x)的图象上，
∴+1(n=1,2,3,…)(*)
在上式中令n=1可得：S1=
+1，又∵a1=1,S1=b1=2，代入可解得：a=1.∴f(x)=x2+1，(*)式可化为：
=an2+1(n=1,2,3,…).
(3)直线ln的方程为：y
=x-an，(n=1,2,3,…)，①
在其中令x=0，得y=
-an，又∵ln在ｙ轴上的截距为
(bn+1)，∴
-an=
(bn+1)，结合①式可得：bn=3an2-3an+2. ②
由①可知：当自然数n≥2时，Sn=nan2+n，Sn-1=(n-1)an-12+n-1，两式作差得：bn=nan2-(n-1)an-12+1
结合②式得：(n-3)an2+3an=(n-1)an-12+1(n≥2,n∈N*).③
在③中，令n=2，结合a1=1，可解得：a2=1或2.
又∵当n≥2时，an＞a1，∴舍去a2=1，得a2=2.
同上，在③中，依次令n=3,n=4，可解得：a3=3,a4=4.
猜想：an=n(n∈N*).下用数学归纳法证明：
(ⅰ)n=1,2,3时，由已知条件及上述求解过程知显然成立.
(ⅱ)假设n=k时命题成立，即ak=k(k∈N,且k≥3)，则由③式可得：
(k-2)ak+12+3ak+1=kak2+1，把ak=k代入上式并解方程得：ak+1=
或k+1,
由于k≥3,∴
＜0，∴ak+1=
.
不符合题意，应舍去，故只有ak+1=k+1.
所以，n=k+1时命题也成立.
综上可知：数列{an}的通项公式为an=n(n∈N*).
. 
)=
，不计算函数值，求f(-
);
)与f(-
)的大小；