Question

设函数f（x）是定义域为R的函数，且f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），又f（2）=2+

2

，则f（2006）=

2 -2

2

．

Answer 1

分析：由已知，连续运用性质得出f（x+4）=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，继而f（x+8）=[f（x+4）+4]=f（x），T=8．

解答：解：f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），即f（x+2）=

1+f(x)

1-f(x)

①，所以f（x+4）=[f（x+2）+2]=

1+f(x+2)

1-f(x+2)

将①代入化简得：f（x+4）=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，继而f（x+8）=[f（x+4）+4]=f（x）
所以f（x）是周期函数，且T=8
所以f（2006）=f（250×8+6）=f（6）=f（2+4）=-

1

f(2)

=-

1

2+ 2

=

2 -2

2

故答案为：

2 -2

2

点评：本题考查抽象函数求函数值，要紧紧抓住题干中给出的性质，寻求另外的性质，比如奇偶性，单调性，周期性等，以助于解决问题．