Question

设函数f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（m，cosx），

b

=（1+sinx，1），x∈R，且f（

π

2

）=2．
（1）求实数m的值；
（2）求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

a

=（m，cosx），

b

=（1+sinx，1），x∈R，结合已知中函数f（x）=

a

•

b

，和平面向量数量积运算法则，可以求出函数f（x）的解析式．进而根据f（

π

2

）=2，构造关于m的方程，求出m值．
（2）根据（1）中结论，我们可以得到函数f（x）的解析式，进而根据辅助角公式，将解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的性质得到答案．

解答：解：（1）∵向量

a

=（m，cosx），

b

=（1+sinx，1），x∈R，
∴f（x）=

a

•

b

=m（1+sinx）+cosx．（2分）
又∵f（

π

2

）=2
由f（

π

2

）=m（1+sin

π

2

）+cos

π

2

=2，
得m=1．  （5分）
（2）由（1）得f（x）=sinx+cosx+1=

2

sin（x+

π

4

）+1．（8分）
∴当sin（x+

π

4

）=-1时，f（x）的最小值为1-

2

．  （12分）

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，其中利用平面向量的数量积运算法则确定函数的解析式是解答本题的关键．