Question

已知函数f(x)=(

1

2

)x+(

1

4

)x-2．
（1）判断f（x）的单调性；
（2）求f（x）的值域；
（3）解方程f（x）=0；
（4）求解不等式f（x）＞0．

Answer 1

（1）此函数由y=t²+t-2与t=(

1

2

)x两个函数复合而成，由于t=(

1

2

)x是一个减函数，且其值域为（0，+∞），函数
y=t²+t-2在（-

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2

，+∞）是增函数，此复合函数外增内减，故是单调递减函数；
（2）由（1）内层函数的值域是（0，+∞），外层函数在（0，+∞）上是增函数，故函数的值域为（-2，+∞）；
（3）由f（x）=0得t²+t-2=0，解得t=-2（舍）或t=1，令(

1

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)x=1解得x=0；
（4）由f（x）＞0得t²+t-2＞0解得t＞1或t＜-2（舍），令(

1

2

)x＞1，解得x＜0，即不等式的解集是（-∞，0）．