题目内容
已知二次函数f（x）=x2-ax+c，（其中c＞0）．（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值；
（2）当f（x）为偶函数时，若函数
，指出g（x）在（0，+∞）上单调性情况，并证明之．
【答案】分析：（1）若函数f（x）为偶函数，根据偶函数定义可得f（-x）=f（x），结合多项式相等的条件，求出a的值；
（2）结合（1）中结论，可得g（x）为对勾函数，利用作差法，可证明其单调性．
解答：解：（1）f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），…（2分）
即（-x）2+ax+c=x2-ax+c，
即2ax=0恒成立 …（3分）
∴a=0 …（4分）
（2）由（1），若f（x）为偶函数，则a=0，
∴
=
=x+
，x∈（0，+∞）
当x∈（0，+∞）时，g（x）在x∈（0，
）上单调递减，在x∈（
，+∞）上单调递增，证明如下：…（5分）
设任意x1，x2∈（0，
），且x1＜x2，
g（x1）-g（x2）=（x1+
）-（x2+
）=（x1-x2）+（
-
）=（x1-x2）
…（7分）
∵x1，x2∈（0，
），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1•x2＜c
即x1•x2-c＜0
∴（x1-x2）
＞0，
即g（x1）-g（x2）＞0
即g（x1）＞g（x2）
∴g（x）在（0，
）上单调递减 …（9分）
同理，可得g（x）在（
，+∞）上单调递增 …（10分）
点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，其中根据函数奇偶性的定义，求出a值是解答的关键．
（2）结合（1）中结论，可得g（x）为对勾函数，利用作差法，可证明其单调性．
解答：解：（1）f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），…（2分）
即（-x）2+ax+c=x2-ax+c，
即2ax=0恒成立 …（3分）
∴a=0 …（4分）
（2）由（1），若f（x）为偶函数，则a=0，
∴
==x+，x∈（0，+∞）当x∈（0，+∞）时，g（x）在x∈（0，
）上单调递减，在x∈（，+∞）上单调递增，证明如下：…（5分）设任意x1，x2∈（0，
），且x1＜x2，g（x1）-g（x2）=（x1+
）-（x2+）=（x1-x2）+（-）=（x1-x2） …（7分）∵x1，x2∈（0，
），且x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1•x2＜c
即x1•x2-c＜0
∴（x1-x2）
＞0，即g（x1）-g（x2）＞0
即g（x1）＞g（x2）
∴g（x）在（0，
）上单调递减 …（9分）同理，可得g（x）在（
，+∞）上单调递增 …（10分）点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，其中根据函数奇偶性的定义，求出a值是解答的关键．
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