题目内容

设数列{a_n}的前n项和为S_n=3a_n-3ⁿ⁺¹．
（1）证明： $数学公式$ 为等比数列；
（2）证明：求数列{a_n}的通项公式．

解：（1）S_n=3a_n-3ⁿ⁺¹得S_n+1=3a_n-3ⁿ⁺¹，
相减得S_n+1-S_n=3a_n+1-3a_n-3ⁿ⁺²+3ⁿ⁺¹，（3分）
即 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ．
故数列 $\text{[math]}$ 为首项是9、公比为3的等比数列．（6分）
（2） $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（1）S_n=3a_n-3ⁿ⁺¹得S_n+1=3a_n-3ⁿ⁺¹，相减得S_n+1-S_n=3a_n+1-3a_n-3ⁿ⁺²+3ⁿ⁺¹，由此能够证明 $\text{[math]}$ 为等比数列；
（2）由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由此能够求出数列{a_n}的通项公式．
点评：本题考查数列的性质和综合运用，解题时要注意总结规律，灵活运用公式．

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