Question

【题目】设函数，其中，

（1）若，且是的极大值点，求的取值范围；

（2）当，时，方程有唯一实数根，求正数的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由，知，，由，得，故．由此能求出的取值范围．

（2）由方程有唯一实数解，知有唯一实数解，设，则，令，得．由此入手能够推导出正数的值．

解：（1）∵，其中，

∴，，由，得，

∴.

①若，由，得，

当时，，此时单调递增；

当时，，此时单调递减，所以是的极大值点.

②若，则，得，或，∵是的极大值点，

∴，解得.

综合①②，得的取值范围是.

（2）∵方程中唯一实数解，∴有唯一实数解，

设，则，

令，得.∵，∴，

方程有两异号根，设，∵，∴应舍去.

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

当时，，取最小值.

∵有唯一解，∴，

则，即，∴，

∵，∴（*），

设函数，∵当时，是增函数，

∴至多有一解，∵，∴方程（*）的解为，

代入方程组解得.