Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2-bx(a，b∈R)
（1）若x₁=-2和x₂=4为函数f（x）的两个极值点，求函数f（x）的表达式
（2）若f（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析：（1）由x₁=-2和x₂=4为函数f（x）的两个极值点，根据极值点处的导数为零，建立方程组，求解即可．
（2）根据f（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数转化成f'（x）=x²+ax-b≤0在区间[-1，3]上恒成立．再利用线性规划的方法求出a²+b²的最小值．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2-bx∴f'（x）=x²+ax-b（2分）
又x₁=-2和x₂=4为函数f（x）的两个极值点
∴-2，4是方程x²+ax-b=0的两个根
则

-a=-2+4 -b=(-2)×4

解得

a=-2 b=8

∴f(x)=

1

3

x3-x2-8x（4分）
（2）∵f（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数∴f'（x）=x²+ax-b≤0在区间[-1，3]上恒成立．
∴

f′(-1)≤0 f′(3)≤0

?

1-a-b≤0 a+3a-b≤0

?

a+b≥1 3a-b≤-9

?(6分)
作出

a+b≥1 3a-b≤-1

的可行域
联立

a+b=1 3a-b=-9

得交点A(-2，3)?(10分)
∴a²+b²的最小值为A到原点O的距离的平方，即（-2）²+3²=13
∴a²+b²的最小值为13（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及根据单调性研究参数的范围，属于中档题．