Question

已知数列{a_n}的前n和为S_n，且Sn+

1

2

an=1
（1）求a₁；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=

1

2

(2n-1)an，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）对n取特值1即可获得解答；
（2）根据条件Sn+

1

2

an=1写出相邻想满足的关系式，作差法即可获得数列{a_n}的性质，结合（1）即可获得解答；
（3）根据（2）可以先将数列{b_n}的通项公式具体化，结合通项公式的特点采用成公比错位相减法即可获得问题解答．

解答：解：（1）∵sn+

1

2

an=1，∴s1+

1

2

a1=1，∴a1=

2

3

．
（2）当n≥2时，sn=-

1

2

an+1，sn-1=-

1

2

an-1+1，
∴an=sn-sn-1=-

1

2

an+1+

1

2

an-1-1，
∴an=

1

3

an-1，
又∵a1=

2

3

≠0，
∴

an

an-1

=

1

3

，
∴an=

2

3

•(

1

3

)n-1=

2

3n

，
∴an=

2

3n

，n∈N*
（3）∵b_n=

1

2

(2n-1)an，an=

2

3n

，n∈N*
∴bn=

2n-1

3n

，n∈N*，
∴Tn=1×

1

31

+3×

1

32

+5×

1

33

+…+(2n-3)×

1

3n-1

+(2n-1)×

1

3n

1

3

Tn=1×

1

32

+3×

1

33

+5×

1

34

+…+(2n-3)×

1

3n

+(2n-1)×

1

3n+1

∴

2

3

Tn=

1

31

+2(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

)-(2n-1)•

1

3n+1

=

2

3

-

2n+2

3n+1

，
∴Tn=1-

n+1

3n

，n∈N*

点评：本题考查的是数列通项和数列求和问题．在解答时中充分体现了特值的思想、分类讨论的思想以及成公比错位相减的方法．值得同学体会和反思．