题目内容

已知x＞0，y＞0，x与y的等差中项为 $数学公式$ ，且 $数学公式$ 的最小值是9，则正数a的值是

A.
1
B.
2
C.
4
D.
8

C
分析：先根据x与y的等差中项为 $\text{[math]}$ 得到x+y=1，然后将 $\text{[math]}$ 转化成（ $\text{[math]}$ ）（x+y），拆开利用基本不等式求出最小值，建立等式，解之即可．
解答：∵x与y的等差中项为 $\text{[math]}$ ，
∴x+y=1
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）（x+y）=a+1+ $\text{[math]}$
∵x＞0，y＞0，a为正数
∴ $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ 时取等号
∵ $\text{[math]}$ 的最小值是9
∴a+1+ $\text{[math]}$ ≥a+1+2 $\text{[math]}$ =9
即a+2 $\text{[math]}$ -8=0
解得a=4
故选C．
点评：本题主要考查了等差数列的性质，以及利用基本不等式求最值，不等式适用条件：一正、二定、三相等，属于中档题．

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