Question

已知函数f(x)=2sin(2x+

π

6

)+a+1（其中a为常数）
（1）求f（x）的单调增区间；
(2)x∈[0，

π

2

]时，f(x)的最大值为4，求a的值．

Answer 1

分析：（1）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范围，即可求出f（x）的单调增区间．
（2）根据x的范围求出2x+

π

6

的范围，即可求得sin（2x+

π

6

）的范围，根据f（x）的最大值为2+a+1=4，求出a的值．

解答：解：（1）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，
故函数的增区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（2）当x∈[0，

π

2

]时，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
故f（x）的最大值为2+a+1=4，解得a=1．

点评：本题主要考查复合三角函数的单调性的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．