Question

【题目】已知函数.

（1）当时，讨论函数的单调区间；

（2）设，证明：当时，函数没有极值点.

Answer 1

【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增，其中=；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求函数求导，对参数进行分类讨论，根据导数的正负，即可容易判断函数的单调性，从而求得单调区间；

（2）要证没有极值点，将问题转化为求证在恒成立；结合（1）中所求可知当时，；构造函数，利用导数根据函数单调性，求得在时恒成立，则问题得解.

（1），，

当时，，

∴当时，，∴在单调递增，

当时，令，解得，，

显然，，

∴当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

综上所述，当时，在单调递增，

当时，在上单调递减，在上单调递增；

（2），

由（1）可知时，在是增函数，

∴，

∴当时，，

下面证明：当时，，

设，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴在上为增函数，

∴，

∴存在使得，即，

并且当时，，时，，

∴在上为减函数，在上为增函数，

∴当时，有最小值，

∵，

∴，

∴，即，

∵，

∴当时，函数为增函数，

∴在区间上没有极值点.