Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），a₁=

1

2

．
（1）求证：{

1

Sn

}是等差数列；
（2）求a_n表达式；
（3）若b_n=2（1-n）a_n（n≥2），求证：b₂²+b₃²+…+b_n²＜1．

Answer 1

分析：（1）根据题中已知条件化简可得出S_n与S_n-1的关系，再求出S1 的值即可证明{

1

Sn

}是等差数列；
（2）根据（1）中求得的S_n与S_n-1的关系先求出数列{

1

Sn

}的通项公式，然后分别讨论n=1和n≥2时a_n的表达式；
（3）根据（2）中求得的a_n的表达式即可求出bn的表达式，然后将bn的表达式代入b₂²+b₃²+…+b_n²中，利用缩放法即可证明b₂²+b₃²+…+b_n²＜1．

解答：解（1）∵-a_n=2S_nS_n-1，
∴-S_n+S_n-1=2S_nS_n-1（n≥2）
S_n≠0，∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，又

1

S1

=

1

a1

=2，
∴{

1

Sn

}是以2为首项，公差为2的等差数列．

（2）由（1）

1

Sn

=2+（n-1）2=2n，
∴S_n=

1

2n

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-

1

2n(n-1)

n=1时，a₁=S₁=

1

2

，
∴a_n=

1 2 (n=1) - 1 2n(n-1) (n≥2)

；

（3）由（2）知b_n=2（1-n）a_n=

1

n

∴b₂²+b₃²+…+b_n²=

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）=1-

1

n

＜1．

点评：本题主要考查了数列的递推公式以及等差数列的基本性质，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．