Question

已知函数f(x)=

   （1）当f(x)的定义域为[a+,a+]时，求f(x)的值域；

   （2）求f(-3a)+f(-2a)+f(-a)+f(0)+f(2a)+f(3a)+f(4a)+f(5a)的值；

   （3）设函数g(x)=x²+|(x-a)•f(x)|，求g(x)的最小值.

Answer 1

解：（1）∵f(x)=

       ∴当a+≤x≤a+时，-a-≤-x≤-a-

∴-≤a-x≤-    ∴-3≤≤-2

于是-4≤-1+≤-3

即：f(x)值域为[-4，-3]

（2） ∵f(x)+f(2a-x)=

∴f(0)+f(2a)=f(-a)+f(3a)=f(-2a)+f(4a)=f(-3a)+f(5a)=-2

故：f(-3a)+f(-2a)+f(-a)+f(0)+f(2a)+f(3a)+f(4a)+f(5a)=-8

（3） g(x)=x³+|x+1-a|  (x≠a)

①当x≥a-1且x≠a时，g(x)=x²+x+a-a=(x+)²+-a

如果a-1≥-,即a≥,则函数在[a-1,a)和(a,+∞)上递增

如果a-1<-,即a<且a≠-时，g(x)_min=g(-)=-a

当a=-时,g(x)最小值不存在.

②当x≤a-1时，g(x)=x²-x-1+a=(x-)²+a-

如果a-1>,即a>时，g(x)_min=g()=a-

如果a-1≤,即a≤时，g(x)在(-∞，a-1)上为减函数，

∴g(x)_min=g(a-1)=(a-1)²

当a>时，(a-1)²-(a-)=(a-)²>0

当a<时，(a-1)²-(-a)=(a-)²>0

综合得：当a<且a≠时，g(x)最小值是-a

当≤a≤时,g(x)最小值为(a-1)²

当a=-时，g(x)最小值不存在.