Question

三棱锥S-ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP．
证明：
（1）DP与SM相交；
（2）设DP与SM的交点为D′，则D′为三棱锥S-ABC的外接球球心．

Answer 1

分析：（1）由DP∥SC，可得DP、SC共面，于是DC在此平面内，所以点M在此平面内．再由SM与SC相交，则SM必与DP相交．
（2）由已知侧棱SA、SB、SC两两互相垂直及SC∥DD^′，可证得直角梯形SCD^′D，若取SC的中点Q，再由DD^′∥SC及MC=2DM，得SC=2DD^′及矩形SQDD^′，于是可得SD^′=CD^′．同理可得D^′A=D^′B=D^′S，于是证得结论．

解答： 证明：（1）∵DP∥SC，故DP、CS共面．
∴DC?面DPC，
∵M∈DC，∴M∈面DPC，∴SM?面DPC．
∵在面DPC内SM与SC相交，故直线SM与DP相交．
（2）∵SA、SB、SC两两互相垂直，∴SC⊥面SAB，∴SC⊥SD．
∵DP∥SC，∴DP⊥SD，△DD′M∽△CSM．
∵M为△ABC的重心，∴DM：MC=1：2．∴DD^′：SC=1：2．
取SC中点Q，连D^′Q．则SQ=DD′，
∴SQ

∥

.

DD′，SC⊥SD，
∴平面四边形DD′QS是矩形．
∴D′Q⊥SC，又SQ=QC，知D^′C=D^′S．
同理，D^′A=D^′B=D^′C=D^′S．
即以D′为球心D′S为半径作球D′，则A、B、C均在此球上．
 即D′为三棱锥S-ABC的外接球球心．

点评：本题综合考查了线线共面、线面垂直、线线平行的性质、等腰三角形的性质、矩形及点共球等，深刻理解以上判定及性质是解决问题的关键．