Question

已知函数f（x）定义在区间，对任意x，y∈（-1，1），恒有成立，又数列{a_n}满足．
（I）在（-1，1）内求一个实数t，使得；
（II）求证：数列{f（a_n）}是等比数列，并求f（a_n）的表达式；
（III）设，是否存在m∈N^*，使得对任意n∈N^*，恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由，能求出实数t．
（II）由，且，知，由此能够证明数列{f（a_n）}是等比数列，并能求出f（a_n）的表达式．
（III）由，知，则＜0，故{c_n}是减数列，由此能够推导出存在m∈N^*，使得对任意n∈N^*，恒成立．
解答：解：（I），
∴…（2分）
（II）∵，
且，
∴，

即
∴{f（a_n）}是以-1为首项，2为公比的等比数列，
∴．…（6分）
（III）由（II）得，…（8分）
∴，…（9分）
则
=
=＜0，
∴{c_n}是减数列，
∴，
要使对任意n∈N^*恒成立，
只需，
即，
故，或，
∴0＜m＜，或，
∴当m≥12，且m∈N^*时，对任意n∈N^*恒成立，
∴m的最小正整数值为12．
点评：本题考查数列与函数的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．