Question

已知函数f(x)=Asin(ωx+

π

6

)（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

，且图象上的一个点为M(

2π

3

，-2)．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

4

]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，可求得其周期T，继而可知ω，再将点M的坐标代入，即可求得A，从而可得函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）x∈[0，

π

4

]⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]⇒f（x）∈[1，2]．

解答：解：（Ⅰ）依题意，

1

2

T=

π

2

，ω＞0，
∴T=

2π

ω

=π，ω=2；
∴f（x）=Asin（2x+

π

6

），
∵M（

2π

3

，-2）在曲线f（x）=Asin（2x+

π

6

）上，
∴-2=Asin（2×

2π

3

+

π

6

）=-A，
∴A=2．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

4

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴1≤2sin（2x+

π

6

）≤2，即f（x）∈[1，2]．
∴函数f（x）的值域为[1，2]．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的定义域和值域，属于中档题．