Question

已知函数f(x)=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

的最大值为g（a）．
（1）设t=

1+x

+

1-x

，求t的取值范围；
（2）用第（1）问中的t作自变量，把f（x）表示为t的函数m（t）；
（3）求g（a）．

Answer 1

（1）令t=

1+x

+

1-x

，要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1，
∴t²=2+2

1-x2

∈[2，4]，t≥0．
∴t的取值范围[

2

，2]．
（2）由（1）知，

1-x2

=

1

2

t²-1
∴M（t）=a（

1

2

t²-1）+t=

1

2

at²+t-a，（

2

≤t≤2）
（3）由题意得g（a）即为函数M（t）=

1

2

at²+t-a在t∈[

2

，2]的最大值，
注意到直线t=-

1

a

是抛物线M（t）的对称轴，分别分以下情况讨论．
当a＞0时，y=M（t）在t∈[

2

，2]上单调递增，∴g（a）=M（2）=a+2．
当a=0时，M（t）=t，t∈[

2

，2），∴g（a）=2；
当a＜0时，函数y=M（t），t∈[

2

，2]图象开口向下；
若t=-

1

a

∈（0，

2

]即a≤-

2

2

时，则g（a）=M（

2

）=

2

；
若t=-

1

a

∈（

2

，2]即-

2

2

＜a≤-

1

2

时，则g（a）=M（-

1

a

）=-a-

1

2a

；
若t=-

1

a

∈（2，+∞），-

1

2

＜a＜0时，则g（a）=M（2）=a+2．
综上得：g（a）=

a+2，    a＞- 1 2 -a- 1 2a ，  - 2 2 ＜a≤- 1 2   2 ，            a≤- 2 2