Question

已知函数f（x）=（1-x）e^x，设Q₁（x₁，0），过P₁（x₁，f（x₁））作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Q₂（x₂，0），再过P₂（x₂，f（x₂））作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Q₃（x₃，0），…，依此下去，过P_n（x_n，f（x_n））（n∈N^*）作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Q_n+1（x_n+1，0），…．若x₁=2，
（Ⅰ）试求出x₂的值并写出x_n+1与x_n的关系；
（ II）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通过求函数f（x）=（1-x）e^x的导数来求得过P_n（x_n，f（x_n））（n∈N^*）作函数y=f（x）的图象的切线方程的斜率，从而求得切线方程，然后可令y=0，即可得到x_n+1与x_n的关系；
（2）由（1）得到，x₁=2＞1，先用数学归纳法法证明x_n＞1，从而得，利用累加法可证得，结合，从而有；再利用，可证明＞n-1，问题即可得证明．
解答：解：（I）由题意得：导数为f′（x）=-xe^x，可求得---（3分）
过P_n（x_n，f（x_n））（n∈N^*）作函数y=f（x）的图象的切线方程为：，
令y=0得：，即---（6分）
（II）先用数学归纳法证明：x_n＞1
当n=1时x₁=2＞1成立；
假设当n=k时成立，即x_k＞1．
则（基本不等式），则当n=k+1时也成立．
故x_n＞1，---（9分）
则可得，故，又，则
---（11分）
由（I）得，则则 x_n+1＞1，则x_n+1-2+n＞n-1
因此，．---（14分）
点评：本题考查用数学归纳法证明不等式，难点有二，一在于证明x_n＞1的思考与证明，而在于对的灵活应用，考查学生的综合分析与转化能力，属于难题．