Question

已知二次函数f（x）满足：f（

1

2

-x）=f（

1

2

+x），其图象与x轴的两个交点间的距离为3，并且其图象过点（1，-2）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）如果方程f（x）=mx-3在区间（0，2）上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（

1

2

-x）=f（

1

2

+x），可得f（x）图象的对称轴为x=

1

2

，由此可得a，b间关系式；由图象过点（1，-2）可得一方程；设图象与x轴的两交点横坐标为x₁，x₂，则|x₁-x₂|=3，可化为(x1+x2)2-4x1x2=9，进而用韦达定理可得一方程，以上方程联立即可求得；
（2）方程f（x）=mx-3在区间（0，2）上有解，等价于m=x+

1

x

-1在（0，2）上有解，问题转化为求函数y=x+

1

x

-1在（0，2）上的值域问题；

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
由f（

1

2

-x）=f（

1

2

+x），知f（x）图象关于x=

1

2

对称，
所以-

b

2a

=

1

2

，即a=-b，
由函数图象过点（1，-2），得a+b+c=-2，即-b+b+c=-2，
所以c=-2．
则f（x）=ax²-ax-2，设图象与x轴的两交点横坐标为x₁，x₂，
则|x₁-x₂|=3，(x1-x2)2=9，即(x1+x2)2-4x1x2=9，
所以1-4×（-

2

a

）=9，解得a=1，则b=-1．
所以f（x）=x²-x-2．
（2）方程f（x）=mx-3，即x²-x-2=mx-3，也即m=x+

1

x

-1，
所以方程f（x）=mx-3在区间（0，2）上有解，等价于m=x+

1

x

-1在（0，2）上有解．
当x∈（0，2）时，x+

1

x

-1≥2

x• 1 x

-1=1，当且仅当x=

1

x

，即x=1时取等号，
所以x+

1

x

-1≥1，故m≥1．
所以实数m的取值范围为：m≥1．

点评：本题考查待定系数法求函数解析式及函数零点问题，解决（2）问的关键是把问题转化为求函数值域处理，考查学生分析解决问题的能力．