Question

椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB是椭圆+=1（a＞b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k_OM•k_AB=-．那么对于双曲线则有如下命题：AB是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k_OM•k_AB=________．

Answer 1

分析：先设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），则根据中点坐标公式有．将A，B的坐标代入双曲线方程得：，．两式相减得后结合直线的斜率公式即得k_OM•k_AB=．
解答：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
则有．
∵，．
两式相减得
即=，
即=，
即k_OM•k_AB=．
故答案为：．
点评：本题主要考查了类比推理、圆锥曲线的共同特征．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．