Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F，过F作两条相互垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N．求证：直线MN恒过定点．

Answer 1

分析：若要证直线MN必过定点P，只需求出含参数的直线MN的方程，观察是否过定点即可．因此设出A、B、M、N的坐标，用A、B坐标表示M、N坐标，从而求出直线MN方程，化简得y=

k

1-k2

（x-3），可得直线必过点（3，0），命题得证．

解答：解：设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）
把直线AB：y=k（x-1）代入y²=4x，得
k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₃=

x1+x2

2

=1+

2

k2

，y₃=k（x₃-1）=

2

k

同理可得，x₄=1+2k²，y₄=-2k
∴k_MN=

y 3-y4

x 3-x4

=

k

1-k2

∴直线MN为y-

2

k

=

k

1-k2

（x-1-

2

k2

），即y=

k

1-k2

（x-3），
结合直线方程的点斜式，可得直线恒过定点P（3，0）．

点评：本题给出抛物线互相垂直的弦AB、CD，求它们的中点确定的直线恒过定点．着重考查了直线与抛物线位置关系、直线过定点的判断等知识，属于中档题．