Question

已知a＞0，函数f（x）=x³-a，x∈（0，+∞），设x₁＞0，记曲线y=f（x）在点（x₁，f（x₁））处的切线为l，
（1）求l的方程；
（2）设l与x轴交点为（x₂，0）证明：
①x2≥a

1

3

；
②若x2＞a

1

3

则a

1

3

＜x2＜x1．

Answer 1

分析：（1）先求函数f（x）的导数，根据y=f（x）在点（x₁，f（x₁））处的切线的斜率等于在该点的导数值可得答案．
（2）①由（1）中切线方程令y=0求出x₂，然后作差即得证．
②将①中结论代入即可得证．

解答：解：（1）f（x）的导数f'（x）=3x²，
由此得切线l的方程y-（x₁³-a）=3x₁²（x-x₁）；
（2）①依题意，在切线方程中令y=0，
得x2=x1-

x 3 1 -a

3 x 2 1

=

2 x 3 1 +a

3 x 2 1

，
x2-a

1

3

=

1

3 x 2 1

(2

x

3 1

+a-3

x

2 1

a

1

3

)=

1

3 x 2 1

(x1-a

1

3

)2(2x1+a

1

3

)≥0，
∴x2≥a

1

3

，当且仅当x1=a

1

3

时取等成立．
②若x1＞a

1

3

，则x₁³-a＞0，x2-x1=

x 3 1 +a

3 x 2 1

＜0，
且由①x2≥a

1

3

，
所以a

1

3

＜x2＜x1．

点评：本题主要考查导数的几何意义和不等式的证明．属中档题．