题目内容

已知数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=18，数列{b_n}的前n项和为T_n，且 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和M_n；
（Ⅱ）求证数列{b_n}是等比数列，并求出其通项公式与前n项和T_n公式；
（III）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
由a₂=6，a₅=18，
可得a₁+d=6，a₁+4d=18，
解得a₁=2，d=4．
从而a_n=4n-2，M_n=2n²（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ ，
令n=1，则 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ．
当n≥2时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
两式相减得 $\text{[math]}$ ．
可得 $\text{[math]}$ ．
所以数列{b_n}是等比数列．
可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．…（8分）
（Ⅲ）由 $\text{[math]}$ ．
则 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ．
两式相减得 $\text{[math]}$ ．
整理得 $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由a₂=6，a₅=18，可求首项及公差，进而可求通项公式及前n项和（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ ，令n=1，可求 $\text{[math]}$ ．当n≥2时，由 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，两式相减得 $\text{[math]}$ ．即 $\text{[math]}$ ，利用等比数列的通项公式及前n项和公式可求
（III）由（I）（II）可得， $\text{[math]}$ ，故考虑利用错位相减求数列的和
点评：本题主要考查了利用基本量求解等差数列的通项公式及数列的和，及利用递推关系构造等比数列求解数列的通项公式，本题的难点在于（III）的错位相减求解数列的和

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我们对数列作如下定义，如果?n∈N^*，都有a_na_n+1a_n+2=k（k为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a_n}是等积数列，且a₁=1，a₂=2，公积为6，则a₁+a₂+a₃+…+a₉=

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（1）类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义；
（2）已知数列{a_n}是等和数列，且a₁=2，公和为5，求 a₁₈的值，并猜出这个数列的通项公式（不要求证明）．