Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N*，有a_n+1=kS_n+1（k为常数），
（Ⅰ）当k=2时，求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）试判断数列{a_n}是否为等比数列？请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）当k=2时，，
令n=1得a₂=2S₁+1，
又a₁=S₁=1，得a₂=3；
令n=2得a₃=2S₂+1=2（a₁+a₂）+1=9，∴a₃=9，
∴a₂=3，a₃=9；
（Ⅱ）由，得，
两式相减，得，
即，且，
故，
故当k=-1时，，此时，{a_n}不是等比数列；
当k≠-1时，，
此时，{a_n}是首项为1，公比为k+1的等比数列；
综上，当k=-1时，{a_n}不是等比数列；当k≠-1时，{a_n}是等比数列。