Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1，(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y=

3

x，坐标原点到直线AB的距离为

3

2

，其中A（a，0），B（0，-b）．
（1）求双曲线的方程；
（2）若B₁是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点，过点B作直线交双曲线于点M，N，求

B1M

⊥

B1N

时，直线MN的方程．

Answer 1

分析：（1）由A（a，0），B（0，-b），设直线AB：

x

a

-

y

b

=1，故

b a = 3 ab a2+b2 = 3 2

，由此能求出双曲线方程．
（2）由双曲线方程为：

x2

3

-

y2

9

=1，知A1(-

3

，0)，A2(

3

，0)，设P（x₀，y₀），则k1k2=

y02

x02-3

=

3x02-9

x02-3

=3．由B（0，-3）B₁（0，3），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），设直线l：y=kx-3，则

y=kx-3 3x2-y2=9

，由此入手能求出直线MN的方程．

解答：解：（1）∵A（a，0），B（0，-b），∴设直线AB：

x

a

-

y

b

=1
∴

b a = 3 ab a2+b2 = 3 2

，∴

a= 3 b=3

，
∴双曲线方程为：

x2

3

-

y2

9

=1．
（2）∵双曲线方程为：

x2

3

-

y2

9

=1，
∴A1(-

3

，0)，A2(

3

，0)，设P（x₀，y₀），
∴kPA1=

y0

x0+ 3

，kPA2=

y0

x0- 3

，
∴k1k2=

y02

x02-3

=

3x02-9

x02-3

=3．
B（0，-3）B₁（0，3），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∴设直线l：y=kx-3，
∴

y=kx-3 3x2-y2=9

，
∴3x²-（kx-3）²=9．
（3-k²）x²+6kx-18=0，
∴x1+x2=

6k

k2-3

    y1+y2=k(x1+x2)-6=

18

k2-3

x1x2=

18

k2-3

     y1y2=k2(x1x2)-3k(x1+x2)+9

∵ B1M =(x1，y1-3)    B1N =(x2，y2-3)

∵ B1M • B1N =0 ∴x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=0 18 k2-3 +9- 54 k2-3 +9=0

k²=5，即k=±

5

代入（1）有解，
∴lMN：y=±

5

x-3．

点评：本题考查双曲线方程和直线方程的求法，解题时要认真审题，注意直线与双曲线位置关系的灵活运用，合理地进行等价转化．