Question

已知椭圆+=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F₁(-c,0)、F₂(c,0),点Q为椭圆外的动点,满足

||=2a,点P是线段F₁Q与椭圆的交点,点T在线段F₂Q上,并且满足=0,||≠0.

(1)设x为点P的横坐标,证明||=a+x.

(2)求点T的轨迹C的方程.

(3)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F₁MF₂的面积S=b²?若存在,求∠F₁MF₂的正切值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

(1)证明:设P(x,y),左准线:x=-,由椭圆第二定义=,

∴|F₁P|=|x+|=|a+x|.

∵x≥-a,a＞-c,

∴a+x≥a-c＞0.

∴|F₁P|=a+x.

(2)解:设T(x,y),当|PT|=0时,点(a,0),点(-a,0)在轨迹上.当|PT|≠0时,

∵|F₂T|≠0且=0,

∴PT⊥TF₂.

又|PQ|=|PF₂|,

∴点T为QF₂的中点.

在△F₁F₂Q中,||=||=a,

∴x²+y²=a²,|PT|=0时也满足,

∴所求动点T的轨迹方程为x²+y²=a².

(3)解:设C上存在点M(x₀,y₀)使S=b²

由此得|y₀|≤a,及|y₀|≤,

∴当a≥时,存在点M使S=b²;

当a＜时,不存在点M;

当a≥时，=（-c-x₀,-y₀）,=(c-x₀,-y₀).

由·=x₀²+y₀²-c²=a²-c²=b²,

∴·=||||cos∠F₁MF₂,而S=||||sin∠F₁MF₂=b²,得

tan∠F₁MF₂=2.