Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

sinA

a

=

3 cosC

c

．
（Ⅰ） 求角C的大小；
（Ⅱ） 若a+b=6，

CA

•

CB

=4，求△ABC 的面积及c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理结合题意可得

3 cosC

c

=

sinC

c

，从而可求得tanC，可求得角C的大小；
（Ⅱ）利用平面向量数量积的运算与余弦定理即可求得△ABC 的面积及c的值．

解答：解：（Ⅰ）由正弦定理得：

sinA

a

=

sinC

c

，
∵

sinA

a

=

3 cosC

c

，
∴

3 cosC

c

=

sinC

c

，
∴tanC=

3

，又C为△ABC中的内角，
∴C=

π

3

．
（Ⅱ）∵

CA

•

CB

=abcosC=ab×

1

2

=4，
∴ab=8，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=4×

3

2

=2

3

；
又a+b=6，
∴c²=a²+b²-2abcosC
=（a+b）²-2ab-2abcosC
=36-16-8
=12．

点评：本题考查平面向量数量积的运算，考查正弦定理与余弦定理的综合运用，考查分析与计算能力，属于中档题．