Question

（2013•黄埔区一模）已知F是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点，O是双曲线C的中心，直线y=

m

x是双曲线C的一条渐近线．以线段OF为边作正三角形MOF，若点M在双曲线C上，则m的值为

3+2

3

．

Answer 1

分析：依题意，m=

b2

a2

，M（

1

2

c，

3

2

c），将M点的坐标代入双曲线方程可得到关于m的方程，解之即可．

解答：解：∵F（c，0）是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点，直线y=

m

x是双曲线C的一条渐近线，
又双曲线C的一条渐近线为y=

b

a

x，
∴m=

b2

a2

，
又点M在双曲线C上，△MOF为正三角形，
∴M（

1

2

c，

3

2

c），
∴

( 1 2 c)2

a2

-

( 3 2 c)2

b2

=1，又c²=a²+b²，
∴

a2+b2

4a2

-

3(a2+b2)

4b2

=1，
即

1

4

+

1

4

m-

3

4

-

3

4m

=1，
∴m²-6m-3=0，又m＞0，
∴m=3+2

3

．
故答案为：3+2

3

．

点评：本题考查双曲线的简单性质，考查其渐近线方程，考查代入法与解方程的能力，属于难题．