Question

（2012•蓝山县模拟）已知函数f（x）=-x²+ax-lnx（a∈R）．
（1）求函数f（x）既有极大值又有极小值的充要条件；
（2）当函数f（x）在[

1

2

，2]上单调时，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=-2x+a-

1

x

=

-2x2+ax-1

x

（x＞0），由题意可得f（x）既有极大值又有极小值?方程2x²-ax+1=0有两个不等的正实数根x₁，x₂；于是由

a 2 ＞0 △=a2-4×(-2)•(-1)＞0

即可求得a的取值范围；
（2）f′（x）=-2x+a-

1

x

，令g（x）=2x+

1

x

，结合题意可得g（x）在[

1

2

，

2

2

）上递减，g（x）在（

2

2

，2]上递增；从而可求得当x∈[

1

2

，2]时，g（x）_max=

9

2

，g（x）_min=2

2

．于是得，若f（x）在[

1

2

，2]单调递增，f′（x）≥0即a≥g（x），从而求得a的取值范围；同理可求，若f（x）在[

1

2

，2]单调递减时a的取值范围．

解答：解：（1）∵f′（x）=-2x+a-

1

x

=

-2x2+ax-1

x

（x＞0），
∴f（x）既有极大值又有极小值?方程2x²-ax+1=0有两个不等的正实数根x₁，x₂．（3分）
∴

a 2 ＞0 △=a2-4×(-2)•(-1)＞0

，
∴a＞2

2

，
∴函数f（x）既有极大值又有极小值的充要条件是a＞2

2

．（6分）
（2）f′（x）=-2x+a-

1

x

，令g（x）=2x+

1

x

（x＞0），
则g′（x）=2-

1

x2

，由g′（x）＜0结合题意得：g（x）在[

1

2

，

2

2

）上递减，
由g′（x）＞0结合题意得：g（x）在（

2

2

，2]上递增．（8分）
又g（

1

2

）=3，g（2）=

9

2

，g（

2

2

）=2

2

，
∴g（x）_max=

9

2

，g（x）_min=2

2

．（10分）
若f（x）在[

1

2

，2]单调递增，则f′（x）≥0即a≥g（x），
∴a≥

9

2

．
若f（x）在[

1

2

，2]单调递减，则f′（x）≤0，即a≤g（x），
∴a≤2

2

．
所以f（x）在[

1

2

，2]上单调时，则a≤2

2

或a≥

9

2

．（13分）

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，考查利用导数研究函数的单调性，突出考查构造函数的思想，转化与分类讨论的思想，考查恒成立问题，综合性强，难度大，属于难题．