题目内容

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于两点P，Q，以PQ为直径的圆过原点O，则
1
a2
+
1
b2
=
2
2
．
分析：设P（x1，y1），Q（x2，y2），把x+y-1=0代入
x2
a2
+
y2
b2
=1，再利用韦达定理得x1+x2=
2a2
a2+b2
，x1x2=
a2(1-b2 )
a2+b2
，y1y2=（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+x1x2，由以PQ为直径的圆过原点O，知x1x2+y1y2=0，由此能够求出
1
a2
+
1
b2
．
解答：解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∵椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于两点P，Q，
∴x1+y1-1=0，x2+y2-1=0，
把x+y-1=0代入
x2
a2
+
y2
b2
=1，得：（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0，
∴x1+x2=
2a2
a2+b2
，x1x2=
a2(1-b2 )
a2+b2
，
∴y1y2=（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+x1x2，
∵以PQ为直径的圆过原点O，∴OP垂直OQ，
∴
y1
x1
•
y2
x2
=-1，
∴x1x2+y1y2=0，
∴2x1x2-（x1+x2）+1=0，
∴2×
a2(1-b2)
a2+b2
-
2a2
a2+b2
+1=0，
∴
1
a2
+
1
b2
=2．
故答案为：2．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，解题时要认真审题，提高计算能力，注意圆的性质的灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．
设 A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的两点，O为坐标原点，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A点坐标为（a，0），求点B的坐标；
（2）设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，证明点M在椭圆上；
（3）若点P、Q为椭圆 上的两点，且
PQ
∥
OB
，试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．

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