题目内容
已知函数f(x)=ln
+
（Ⅰ）求f（x）的单调区间以及极值；
（Ⅱ）函数y=f（x）的图象是否为中心对称图形？如果是，请给出严格证明；如果不是，请说明理由．
| x-4 |
| x-6 |
| x |
| 12 |
（Ⅰ）求f（x）的单调区间以及极值；
（Ⅱ）函数y=f（x）的图象是否为中心对称图形？如果是，请给出严格证明；如果不是，请说明理由．
分析：（Ⅰ）求导函数f′(x)=
，确定函数的定义域，由f′（x）＞0得函数的增区间，由f′（x）＜0得函数的减区间，从而可确定函数的极值；
（Ⅱ）f（x）图象上取得极值的两点的中点为(5，
)．再证明函数f（x）图象关于此点对称．
| x(x-10) |
| 12(x-4)(x-6) |
（Ⅱ）f（x）图象上取得极值的两点的中点为(5，
| 5 |
| 12 |
解答：解：（Ⅰ）f′(x)=
∵x∈（-∞，4）∪（6，+∞）
由f′（x）＞0得f（x）在区间（-∞，0]和[10，+∞）上递增
由f′（x）＜0得f（x）在区间[0，4）和（6，10]上递减
于是有[f(x)]极小值=f(0)=ln
；[f(x)]极大值=f(10)=ln
+
（Ⅱ）因为f（x）图象上取得极值的两点的中点为(5，
)．
下证，函数f（x）图象关于此点对称．
设f（x）的定义域为D，?∈D，有：f(x)+f(10-x)=ln
+
+ln
+
=
所以，函数y=f（x）的图象关于点(5，
)对称．
| x(x-10) |
| 12(x-4)(x-6) |
∵x∈（-∞，4）∪（6，+∞）
由f′（x）＞0得f（x）在区间（-∞，0]和[10，+∞）上递增
由f′（x）＜0得f（x）在区间[0，4）和（6，10]上递减
于是有[f(x)]极小值=f(0)=ln
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 6 |
（Ⅱ）因为f（x）图象上取得极值的两点的中点为(5，
| 5 |
| 12 |
下证，函数f（x）图象关于此点对称．
设f（x）的定义域为D，?∈D，有：f(x)+f(10-x)=ln
| x-4 |
| x-6 |
| x |
| 12 |
| 6-x |
| 4-x |
| 10-x |
| 12 |
| 5 |
| 6 |
所以，函数y=f（x）的图象关于点(5，
| 5 |
| 12 |
点评：本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的中心对称，正确求导，利用函数的定义域是关键．
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