Question

已知正项数列{a_n}的前n项和S_n满足：4S_n=(an+1)2，n∈N^*，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n和前n项和S_n；
（Ⅱ）求数列{

1

anan+1

}的前n项和T_n；
（Ⅲ）证明：不等式

1

3

≤Tn＜

1

2

对任意的n∈N^*都成立．

Answer 1

分析：（1）由4S_n=(an+1)2，得4s_n-1=(an-1+1)2，两式相减得a_n的表达式；由a_n可求s_n的表达式；
（2）由a_n=2n-1，用裂项法计算{

1

anan+1

}的前n项和T_n；
（3）由（2）知T_n=

1

2

-

1

4n+2

，n∈N^*，用放缩法可证明不等式

1

3

≤T_n＜

1

2

成立．

解答：解：（1）∵4S_n=(an+1)2，n∈N^*，
∴4s_n-1=(an-1+1)2，（n≥2）；
∴4a_n=(an+1)2-(an-1+1)2，（n≥2），
∴(an-1)2=(an-1+1)2，（n≥2）；
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，（n≥2）；
又∵正项数列{a_n}，∴a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1-2=0（n≥2）；
又n=1时，4a₁=4s₁=(a1+1)2，a₁＞0，
∴a₁=1，∴数列{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴a_n=2n-1，n∈N^*，
∴s_n=

1

4

(an+1)2=n²，n∈N^*；
（2）∵a_n=2n-1，∴

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴前n项和T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

1

2

-

1

4n+2

；
（3）证明：∵T_n=

1

2

-

1

4n+2

，n∈N^*，
∴

1

3

=

1

2

-

1

4×1+2

≤T_n=

1

2

-

1

4n+2

＜

1

2

，
∴不等式

1

3

≤T_n＜

1

2

对任意的n∈N^*都成立．

点评：本题考查了数列的前n项和公式列以及数列求和的裂项法、不等式证明的放缩法等问题，是易错题．