Question

设f（x）=-x³+bx²+cx，其导函数y=f'（x）的图象经过点（-2，0），(

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3

 ， 0)．
（Ⅰ）求f（x）的极小值；
（Ⅱ）方程f（x）+p=0有唯一实数解，求p的取值范围；
（Ⅲ）若对x∈[-3，3]，都有f（x）≥m²-14m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出y=f'（x），因为导函数图象经过（-2，0）和(

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 ， 0)，代入即可解出b、c，再根据图象可知函数的单调性，而f（x）极小值为f（-2）=-8．
（2）由（1）的结论，求出f（x）的极值，进而根据方程f（x）+p=0有唯一实数解，则函数f（x）的图象与直线y=-p有且只有一个交点，确定实数P的取值范围
（3）根据函数增减性求出函数在区间[-3，3]的最小值大于等于m²-14m，即可求出m的范围．

解答：解：（1）∵f'（x）=-3x²+2bx+c，且y=f'（x）的图象经过点（-2，0），(

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 ， 0)．
可知

-12-4b+c=0 - 4 3 + 4 3 b+c=0

解得b=-2，c=4，
当x∈（-∞，-2）∪（

2

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，+∞）时，f'（x）＜0
当x∈（-2，

2

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）时，f'（x）＞0
∴函数y=f（x）在（-∞，-2）上单调递减，在（-2，

2

3

）上单调递增，在（

2

3

，+∞）上单调递减，
∴f（x）=-x³-2x²+4x在x=-2时，
f（x）的极小值=-8
（2）由（1）得x=-2时，f（x）的极小值为-8，当x=

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时，f（x）的极大值为

40

27

，
若方程f（x）+p=0有唯一实数解，
则函数f（x）的图象与直线y=-p有且只有一个交点，则p＜-

40

27

，或p＞8
（3）要使对x∈[-3，3]都有f（x）≥m²-14m恒成立，
只需f（x）_min≥m²-14m即可．
由（1）可知函数y=f（x）在[-3，2）上单调递减，在（-2，

2

3

）上单调递增，在（

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，3]上单调递减
且f（-2）=-8，f（3）=-3³-2×3²+4×3=-33＜-8
∴f（x）_min=f（3）=-33（11分）-33≥m²-14m⇒3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．

点评：本题考查会利用导数求函数极值，理解函数恒成立时所取的条件，数形结合的思想方法．