Question

在数列{a_n}中，|a_n|＜2,且a_n+1a_n-2a_n+1+2a_n＜0,

求证：a_n＞(n∈N).

Answer 1

证明：∵|a_n|＜2,

∴-2＜a_n＜2.∴2-a_n＞0.

由题设a_n+1(2-a_n)＞2a_n,则a_n+1＞.

1°当n=1时，由|a_n|＜2,得a₁＞-2=成立.

2°假设当n=k时，有a_k＞成立.（下证a_k+1＞成立）

设f(x)=,易知f(x)在(-2,2)内是单调递增的，又a_k+1＞f(a_k),由归纳假设,可知a_k＞,

∴a_k+1＞f(a_k)＞f()=,即当n=k+1时，a_k+1＞成立.故对任意n∈N，a_n＞成立.