Question

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面为直角梯形，，且PA=AB=BC=1，AD=2．

（Ⅰ）设M为PD的中点，求证：平面PAB；

（Ⅱ）求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）证明：取PA的中点N，连结BN、NM，在△PAD中，，且；又，且，所以MNBC，即四边形BCMN为平行四边形，.又平面PAB，平面PAB，故平面PAB.               ……5分

（Ⅱ）在平面ABCD中，AB与CD不平行，延长AB、CD交于一点，设为E，连结PE，则PE为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的棱，又由题设可知侧面PAB，于是过A作于F，连结DF，由三垂线定理可知AFD为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角.                                          ……8分

在△EAD中，由，，知B为AE为中点，∴AE=2，在Rt△PAE中，PA=1，AE=2，∴，故，

即所求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值为        ……12分

 

解法二：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）.  ……2分

（Ⅰ）由M为PD中点知M的坐标为（0，1，1），所以，又平面PAB的法向量可取为 ∴，即. 又平面PAB，所以平面PAB.                                                          ……6分

（Ⅱ）设平面PCD的法向量为

∵，∴

不妨取 则 ∴

又平面PAB的法向量为

设侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角大小为，

则由的方向可知，，∴

即所求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值为      ……12分

      (解法三：因为侧面PAB，侧面PAB，所以也可以考虑用射影面积来求解)