Question

已知数列{a_n}满足an=

n

n-1

an-1-

1

3

n•(

2

3

)n(n≥2，n∈N*)，首项为a1=

4

9

；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn=

n-an

3n-2an

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：

3n-4

9

＜Tn＜

n

3

．

Answer 1

分析：（1）根据题中已知条件和等比数列的基本性质便可求出a_n的通项公式；
（2）由（1）中求得的a_n的通项公式即可求出b_n的通项公式，然后先证明b_n＜

1

3

，即可证明Tn＜

n

3

，然后再证明Tn＞

3n-4

9

，即可证明：

3n-4

9

＜Tn＜

n

3

．

解答：解：（1）由已知可得

an

n

=

an-1

n-1

-

1

3

(

2

3

)n(n≥2，n∈N*)，即

an

n

-

an-1

n-1

=-

1

3

(

2

3

)n
由累加法可得：

an

n

=(

2

3

)n+1，即an=n(

2

3

)n+1
又n=1也成立，所以an=n(

2

3

)n+1(n∈N*)；
（2）bn=

n-an

3n-2an

=

1- an n

3-2 an n

=

1-( 2 3 )n+1

3-2( 2 3 )n+1

先证bn＜

1

3

由bn＜

1

3

?

1-( 2 3 )n+1

3-2( 2 3 )n+1

＜

1

3

?1-(

2

3

)n+1＜1-

2

3

•(

2

3

)n+1?

1

3

•(

2

3

)n+1＞0，此式显然成立，
∴Tn=b1+b2++bn＜

n

3

（6分）
又b_n=

1-( 2 3 )n+1

3-2( 2 3 )n+1

＞

1

3

[1-(

2

3

)n+1]
∴Tn=b1+b2++bn＞

1

3

[n-(

2

3

)2-(

2

3

)3--(

2

3

)n+1]=

1

3

[n-

4

3

(1-(

2

3

)n]＞

1

3

[n-

4

3

]=

3n-4

9

．
∴

3n-4

9

＜Tn＜

n

3

．

点评：本题主要考查了数列的递推公式以及数列与不等式的综合，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．