Question

已知函数f（x）=-4sin²x+4

3

sinxcosx+m-2，当x∈(0，

π

2

]时f（x）的最小值为-5，求m的值．

Answer 1

分析：利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简函数解析式，合并后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由x的范围求出这个角的范围，求出正弦函数的值域，进而表示出函数f（x）的最小值，根据最小值为-5列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答：解：函数f（x）=-4sin²x+4

3

sinxcosx+m-2
=-4×

1-cos2x

2

+2

3

sin2x+m-2
=2cos2x+2

3

sin2x+m-4
=4sin（2x+

π

6

）+m-4，
当x∈(0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

]，
∴4sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴函数f（x）的最小值为4×（-

1

2

）+m-4=-5，
解得m=1．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的定义域及值域，利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．