Question

已知函数f(x)＝x²－mlnx

(1)若函数f(x)在(，＋∞)上是递增的，求实数m的取值范围；

(2)当m＝2时，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2） 

【解析】

试题分析：（1）主要利用函数在区间上的单调递增转化为导数在该区间上恒大于零，然后再把恒成立问题转化为最值来求；（2）利用导数分析函数在区间上的单调性，然后求对应的最值；

试题解析：（1）若函数f(x)在(，＋∞)上是增函数，

则f′(x)≥0在(，＋∞)上恒成立                        2分

而f′(x)＝x－，即m≤x²在(，＋∞)上恒成立，即m≤       8分

(2)当m＝2时，f′(x)＝x－＝，              

令f′(x)＝0得x＝±，              10分

当x∈[1，)时，f′(x)<0，当x∈(，e)时，f′(x)>0，

故x＝是函数f(x)在[1，e]上唯一的极小值点，

故f(x)_min＝f()＝1－ln2，

又f(1)＝，f(e)＝e²－2＝>，故f(x)_max＝         16分

考点：导数、函数单调性，函数的最值