Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且a_n=

n

n-1

an-1+2n•3n-2(n≥2，n∈N*)．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）写出数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件，通过a₁=1，且a_n=

n

n-1

an-1+2n•3n-2(n≥2，n∈N*)，利用n=2，3，4分别求出a₂，a₃，a₄的值；
（2）通过（2）直接写出数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明步骤证明即可．．

解答：解：（1）a₁=1，且a_n=

n

n-1

an-1+2n•3n-2(n≥2，n∈N*)，
当n=2时，a₂=6，n=3时，a₃=27，n=4时，a₄=108…（3分）
（2）猜想：an=n•3n-1…（5分）
证明：（1）当n=1时，显然成立；                      …（6分）
（2）假设当n=k时，结论成立，即ak=k•3k-1，则
当n=k+1时，ak+1=

k+1

k

ak+2(k+1)•3k-1=

k+1

k

k•3k-1+2(k+1)•3k-1
=（k+1）•3^k=（k+1）•3^（k+1）-1
∴当n=k+1时结论也成立．                           …（10分）
综上（1）（2）可知，对?n∈N*，an=n•3n-1恒成立．     …（12分）

点评：本题考查数列递推关系式的应用，数学归纳法的证明方法，考查分析问题解决问题的能力．