题目内容
直线l：y=mx+1，双曲线C：3x2-y2=1，问是否存在m的值，使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．
假设存在m值满足条件，
设A、B坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），
由
得：（3-m2）x2-2mx-2=0，
则3-m2≠0，且△=4m2-4（3-m2）（-2）＞0，得m2＜6且m2≠3①，
由韦达定理有：x1+x2=
，x1x2=
，
因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，即
•
=0，即x1x2+y1y2=0，
所以x1x2+（mx1+1）（mx2+1）=0，即（1+m2）x1x2+m（x1+x2）+1=0，
所以（1+m2）•
+m•
+1=0，解得m=±1，
故存在m=1或m=-1使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．
设A、B坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），
由
|
则3-m2≠0，且△=4m2-4（3-m2）（-2）＞0，得m2＜6且m2≠3①，
由韦达定理有：x1+x2=
| 2m |
| 3-m2 |
| -2 |
| 3-m2 |
因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，即
| OA |
| OB |
所以x1x2+（mx1+1）（mx2+1）=0，即（1+m2）x1x2+m（x1+x2）+1=0，
所以（1+m2）•
| -2 |
| 3-m2 |
| 2m |
| 3-m2 |
故存在m=1或m=-1使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．
练习册系列答案
浙大优学小学年级衔接捷径浙江大学出版社系列答案
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已知椭圆C：
+
=1，直线l：y=mx+1，若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| b |
| A、[1，4） |
| B、[1，+∞） |
| C、[1，4）∪（4，+∞） |
| D、（4，+∞） |