Question

【题目】在无穷数列中，，对于任意，都有，，设，记使得成立的的最大值为．

（）设数列为，，，，，写出，，的值．

（）若为等差数列，求出所有可能的数列．

（）设，，求的值．（用，，表示）

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据使得成立的的最大值为，即可写出，，的值；

（2）若为等差数列，先判断，再证明，即可求出所有可能的数列．

（Ⅲ）由，，利用的定义能推导出．

试题解析:

（）∵，则，，

则，，则；

∴，，．

（）由题可得，

可得．

又∵使得成立的的最大值为，

使得成立的的最大值为，

∴，．

设，则．

若，则．

则当时，；

当时，，

∴，．

∵为等差数列，

∴公差，

∴，

这与矛盾，

∴．

又∵，

∴，

由为等差数列，得．

∵使得成立的的最大值为，

∴，

又∵，

∴．

（）．

∵，

∴且，

∴数列中等于的项共有个，

即个，

设，，

则，且，

∴数列等于的项有个，即个，

以此类推：数列中等于的项共有个．

∴

．

即：．