Question

已知函数f(x)=.

(1)判断f(x)的单调性，并加以证明；

(2)求f(x)的反函数.

Answer 1

解:(1)∵x∈R时，2^x+1＞0恒成立.

∴f(x)的定义域是R.

f(x)在R上是增函数，证明如下:

设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，则0＜2＜2.

∴f(x₁)－f(x₂)=－=

=.

∵2－2＜0，2+1＞0，2+1＞0,

∴f(x₁)－f(x₂)＜0，即f(x₁)＜f(x₂).

∴f(x)在R上是增函数.

(2)由y=，解得2^x=,

∵2^x＞0，∴＞0，即 －1＜y＜1.

∴x=log₂(－1＜y＜1).

∴f(x)的反函数为f^－1(x)=log₂(－1＜x＜1).