Question

已知函数f(x)=3

4-x

+4

x-3

，则函数f(x)的值域为（　　）

A．[0，5]

B．[3，4]

C．[3，5]

D．[4，5]

Answer 1

分析：先求函数的定义域，利用换元法将函数转换为三角函数，利用三角函数的性质求函数的值域．

解答：解：要使函数有意义，则

4-x≥0 x-3≥0

，即3≤x≤4．则0≤x-3≤1，设x-3=sin²θ，0≤θ≤

π

2

，则x=3+sin²θ，
所以函数等价为y=3

4-3-sin?2θ

+4

sin?2θ

=3

1-sin?2θ

+4

sin?2θ

=3

cos?2θ

+4

sin?2θ

=3cos?θ+4cos?θ=5sin?(θ+?)，
∵0≤θ≤

π

2

，所以当φ+θ=

π

2

时取最大值5．
当x=3时，有最小值3．
故函数的值域为[3，5]．
故选C．

点评：本题主要考查函数值域的求法，利用三角换元法是解决本题的关键．本题难度较大．