Question

（2009•河北区二模）已知函数f（x）=log_ax（a＞1），g（x）=x-b．
（Ⅰ）若a=e，且y=g（x）是y=f（x）的切线，求b的值；
（Ⅱ）若b=0，且y=g（x）是y=f（x）的切线，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率求得切点的坐标，可得切线方程，从而可求b的值；
（Ⅱ）求出y=log_ax的斜率为1的切线方程，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=lnx，f′(x)=

1

x

…（2分）
令f′（x₀）=1，得x₀=1，y₀=f（x₀）=f（1）=0
∴y=lnx的斜率为1的切线为y=x-1…（4分）
∴b=1．…（6分）
（Ⅱ）g（x）=x，f′(x)=

1

xlna

．
令f′（x₀）=1，得x0=

1

lna

，y0=f(x0)=loga(

1

lna

)．
∴y=log_ax的斜率为1的切线为y=x+loga(

1

lna

)-

1

lna

…（8分）
∴loga(

1

lna

)-

1

lna

=0，即

ln( 1 lna )

lna

=

1

lna

…（10分）
∴a=e

1

e

．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．