Question

已知各项均为正数的数列满足：，

（1）求、、，猜测的表达式并证明；

（2）求证：≥；

（3）设数列的前项和为，求证：.

Answer 1

解：（1）  猜测：

       ①当n=1时，a₁=1+1=2，猜想成立.

       ②假设当n=k时成立，即a_k=k+1.

      

       即当n=k+1时，猜想成立.

       故对一切成立.

   （2）设

       由

       由内有且只有一个极大值点，且=0

       因此在内，

      

      

（3）

       由（2）可知

      

        

       同理可证