Question

已知函数f（x）=log_ax和g（x）=2log_a（2x+t-2），（a＞0，a≠1，t∈R）的图象在X=2处的切线互相平行．
（1）求T的值；
（2）设F（x）=g（x）-f（x），当x∈[1，4]时，F（x）≥2恒成立，求A的取值范围．

Answer 1

（I）∵f′(x)=

1

x

logae，g′(x)=

4

2x+t-2

logae（3分）
∵函数f（x）和g（x）的图象在X=2处的切线互相平行，
∴f'（2）=g'（2）（5分）
∴

1

2

logae=

4

2×2+t-2

logae，
∴t=6（6分）
（II）∴F（x）=g（x）-f（x）=2log_a（2x+4）-log_ax=loga

(2x+4)2

x

，x∈[1，4]
令 h(x)=

(2x+4)2

x

=4x+

16

x

+16，x∈[1，4]∵h′(x)=4-

16

x2

=

4(x-2)(x+2)

x2

，x∈[1，4]
∴当1≤x＜2时，h′（x）＜0，
当2＜x≤4时，h′（x）＞0．h（x）在[1，2）是单调减函数，在（2，4]是单调增函数．（9分）
∴h（x）_min=h（2）=32，∴h（x）_max=h（1）=h（4）=36
∴当0＜a＜1时，有F（x）_min=log_a36，当a＞1时，有F（x）_min=log_a32．
∵当x∈[1，4]时，F（x）≥2恒成立，∴F（x）_min≥2（10分）
∴满足条件的a的值满足下列不等式组

0＜a＜1 loga36≥2

；①，或

a＞1 loga32≥2.

②
不等式组①的解集为空集，解不等式组②得 1＜a≤4

2

综上所述，满足条件的 a的取值范围是：1＜a≤4

2

．（12分）