Question

17．设函数f（x）=mx-2+|2x-1|．
（1）若m=-2，解不等式f（x）≤3；
（2）若函数f（x）有最小值，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）m=2时，f（x）=2x-2+|2x-1|，分当x≥$\frac{1}{2}$时和当x＜$\frac{1}{2}$时两种情况，去掉绝对值，求得原不等式的解集．
（2）根据f（x）的解析式，分x＜$\frac{1}{2}$、x≥$\frac{1}{2}$两种情况，利用函数的单调性以及函数有最小值，可得$\left\{\begin{array}{l}m+2≥0\\ m-2≤0\end{array}\right.$，由此求得实数m的取值范围．

解答 解：（1）m=2时，f（x）=2x-2+|2x-1|，
当x≥$\frac{1}{2}$时，f（x）≤3可化为2x-2+2x-1≤3，解之得$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$；
当x＜$\frac{1}{2}$时，f（x）≤3可化为2x-2+1-2x≤3，解之得x＜$\frac{1}{2}$．
综上可得，原不等式的解集为{x|x≤$\frac{3}{2}$}．
（2）f（x）=mx-2+|2x-1|=$\left\{\begin{array}{l}（m+2）x-3，x≥\frac{1}{2}\\（m-2）x-1，x＜\frac{1}{2}\end{array}\right.$．
若函数f（x）有最小值，
则当x＜$\frac{1}{2}$时，函数f（x）递减，当x≥$\frac{1}{2}$时，函数f（x）递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}m+2≥0\\ m-2≤0\end{array}\right.$，即-2≤m≤2，
即实数m的取值范围是[-2，2]．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的最值的应用，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．