Question

f（x，y）=0（或：y=f（x））在其上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线，f（x，y）=0（或y=f（x）＞的自公切线，下列方程的曲线存在公切线的序号为

 

（填上所有正确的序号）①y-x²=|x；②|x|+1=

x-y2

； ③y=3sinx+4cosx；④x²-y²=1； ⑤y=xcosx．

Answer 1

分析：通过画出函数图象，观察其图象是否满足在其上图象上是否存在两个不同点处的切线重合，从而确定是否存在自公切线，从而得到结论．

解答：解：函数 y=x²-|x|的图象如下左图显然满足要求，故①存在；
而对于方程|x|+1=

4-y2

，其表示的图形为图中实线部分，不满足要求，故②不存在
函数y=3sinx+4cosx的一条自公切线为y=5，故③存在；
x²-y² =1为等轴双曲线，不存在自公切线，故④不存在．  
函数 y=xcosx的图象如下右图显然满足要求，存在自公切线，故⑤存在；
  
故答案为：①③⑤

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及新定义自公切线，题目比较新颖，解题的关键是理解新的定义，同时考查了数形结合的思想，属于中档题．