题目内容
已知椭圆
+
=1(a＞b＞0)，A，B分别为左顶点和上顶点，F为右焦点，过F作x轴的垂线交椭圆于点C，且直线AB与直线OC平行．
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知定点M（3，0），P为椭圆上的动点，若△OMP的重心轨迹经过点（1，1），求椭圆的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知定点M（3，0），P为椭圆上的动点，若△OMP的重心轨迹经过点（1，1），求椭圆的方程．
分析：（1）首先根据A、B的坐标，得到直线AB的斜率kAB=
，再根据F是椭圆的焦点且CF⊥x轴，结合椭圆方程得到点C坐标（c，
），于是直线OC的斜率为kOC=
．最后根据直线AB与直线OC平行，利用斜率相等可得b=c，即可求得椭圆的离心率；
（2）由（1），可设椭圆方程为
+
=1，动点P的坐标为（x0，y0），△OMP重心G的坐标为（x，y），据三角形重心坐标公式结合坐标转移的方法，可得点G的轨迹方程，因为G的轨迹经过点（1，1），所以将点（1，1）代入所求出的轨迹方程，即可得b2=9，从而得到椭圆的方程．
| b |
| a |
| b2 |
| a |
| b2 |
| ac |
（2）由（1），可设椭圆方程为
| x2 |
| 2b2 |
| y2 |
| b2 |
解答：解：（1）∵A（-a，0），B（0，b），∴直线AB的斜率kAB=
，
∵CF⊥x轴，∴将x=c代入椭圆方程得
=1-
=
，y=±
（2分）
得点C坐标为（c，
）
，于是OC的斜率为kOC=
=
∵直线AB与直线OC平行，
∴kAB=kOC，即
=
，可得b=c（4分）
∴椭圆的离心率e=
=
=
=
（6分）
（2）由（1），可设椭圆方程为
+
=1，（b＞0）
设动点P的坐标为（x0，y0），△OMP重心G的坐标为（x，y），据三角形重心坐标公式可得
∴
⇒
，得点P（3x-3，3y）（8分）
∵点P在椭圆
+
=1上，
∴
+
=1，此为点G的轨迹方程（10分）
∵G的轨迹经过点（1，1），
∴b2=9，得到椭圆的方程为：
+
=1（12分）
| b |
| a |
∵CF⊥x轴，∴将x=c代入椭圆方程得
| y2 |
| b2 |
| c2 |
| a2 |
| b2 |
| a2 |
| b2 |
| a |
得点C坐标为（c，
| b2 |
| a |
，于是OC的斜率为kOC=
| ||
| c |
| b2 |
| ac |
∵直线AB与直线OC平行，
∴kAB=kOC，即
| b |
| a |
| b2 |
| ac |
∴椭圆的离心率e=
| c |
| a |
| c | ||
|
| c | ||
|
| ||
| 2 |
（2）由（1），可设椭圆方程为
| x2 |
| 2b2 |
| y2 |
| b2 |
设动点P的坐标为（x0，y0），△OMP重心G的坐标为（x，y），据三角形重心坐标公式可得
∴
|
|
∵点P在椭圆
| x2 |
| 2b2 |
| y2 |
| b2 |
∴
| (3x-3)2 |
| 2b2 |
| 9y2 |
| b2 |
∵G的轨迹经过点（1，1），
∴b2=9，得到椭圆的方程为：
| x2 |
| 18 |
| y2 |
| 9 |
点评：本题给出椭圆中两条线段互相平行，求椭圆的离心率，并在已知三角形重心坐标的情况下求椭圆的方程，着重考查了三角形重心公式、椭圆的基本概念和轨迹方程求法等知识点，属于中档题．
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